中点规则计算器

输入一个定积分，计算器将使用中点（中点坐标）规则对其进行近似，并显示步骤。

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在线中点规则计算器可让您使用中点规则估算定积分。此外，此计算器还提供与左右矩形或左矩形总和相比的面积近似值。因此，请继续阅读以了解如何通过其公式和示例找到中点规则。

什么是中点规则？

在数学中，中点规则通过将中点为 f(x) 上的点的矩形的面积相加来近似函数 f(x) 的图形与 x 轴之间的面积。

您可以使用在线黎曼和计算器，它允许您使用有限和来估计中点、梯形、右端点和左端点的定积分和样本点。

中点规则公式：

为了找到不同矩形的面积以及一般 n 的面积，我们得到：

∫AbF（X）=ΔX（F（X0+X12）+F（X1+X22）+F（X2+X32）+。。。+F（Xn−2+Xn−12）+F（Xn−1+Xn2））∫^b_a f(x) = Δx (f(\frac{x_0 + x_1} {2}) + f(\frac{x_1 + x_2} {2}) + f(\frac{x_2 + x_3} {2}) + . . . + f(\frac{x_{n-2} + x_{n-1}} {2}) + f(\frac{x_{n-1} + x_n} {2}) )

但是，当您输入上限和下限时，在线中点规则计算器会立即使用此公式求解近似积分。

中点规则示例：

找到中点规则∫14X2+4∫^4_1 \sqrt{x^2 + 4}，其中矩形的数量为 5。

解决方案：

积分∫14X2+4dX∫^4_1 \sqrt{x^2 + 4} dx其中 n = 5，使用中点规则。

中点规则公式为：

∫AbF（X）=ΔX（F（X0+X12）+F（X1+X22）+F（X2+X32）+。。。+F（Xn−2+Xn−12）+F（Xn−1+Xn2）） ∫^b_a f(x) = Δx (f(\frac{x_0 + x_1} {2}) + f(\frac{x_1 + x_2} {2}) + f(\frac{x_2 + x_3} {2}) + . . . + f(\frac{x_{n - 2} + x_{n - 1}} {2}) + f(\frac{x_{n - 1} + x_n} {2}) )

其中 Δx = b – a / n

我们有 a = 1，b = 4，n = 5。

因此，Δx = 4 - 1 / 5 = 0.6

将区间 [1, 4] 划分为 n = 5 个子区间，长度 Δx = 0.6，端点如下：

A = 1、1.6、2.2、2.8、3.4、4 = b

中点规则近似计算器可以近似计算两个不同点之间的曲线下的精确面积。

现在，确定子区间点处的函数。

F（X0+X12）=F（1+1 . 62）=F（1 . 3）=（1 . 3）2+4=2 . 3 8 5 3 f(\frac{x_0 + x_1} {2}) = f (\frac{1 + 1.6} {2}) = f(1.3) = \sqrt{(1.3)^2 + 4} = 2.3853

F（X1+X22）=F（1 . 6+2 . 22）=F（1 . 9）=（1 . 9）2+4=2 . 7 5 8 6 f(\frac{x_1 + x_2} {2}) = f (\frac{1.6 + 2.2} {2}) = f(1.9) = \sqrt{(1.9)^2 + 4} = 2.7586

F（X2+X32）=F（2 . 2+2 . 82）=F（2 . 5）=（2 . 5）2+4=3 . 2 0 1 5 f(\frac{x_2 + x_3} {2}) = f (\frac{2.2 + 2.8} {2}) = f(2.5) = \sqrt{(2.5)^2 + 4} = 3.2015

F（X3+X42）=F（2 . 8+3 . 42）=F（3 . 1）=（3 . 1）2+4=3 . 6 8 9 1 f(\frac{x_3 + x_4} {2}) = f (\frac{2.8 + 3.4} {2}) = f(3.1) = \sqrt{(3.1)^2 + 4} = 3.6891

F（X4+X52）=F（3 . 4+42）=F（3 . 7）=（3 . 7）2+4=4 . 2 0 5 9 f(\frac{x_4 + x_5} {2}) = f (\frac{3.4 + 4} {2}) = f(3.7) = \sqrt{(3.7)^2 + 4} = 4.2059

现在，将这些值相加，并乘以 Δx = 0.6，因此，

0 . 6（2 . 3 8 5 3+2 . 7 5 8 6+3 . 2 0 1 5+3 . 6 8 9 1+4 . 2 0 5 9）=9 . 7 4 4 4 0.6 (2.3853 + 2.7586 + 3.2015 + 3.6891 + 4.2059) = 9.7444

中点规则计算器可以使用其公式更好地近似面积。

但是，在线积分计算器可以让您计算涉及变量的函数积分。

中点规则误差界限公式：

中点法则、辛普森法则和梯形法则都是近似曲线下面积的不同方法。但问题是，我们如何知道哪种近似值与曲线下的实际面积相比更准确？

误差界限公式可以告诉我们估计中的最大误差。因此，如果误差界限较小，则我们的近似值接近实际面积。除此之外，如果误差界限较大，则我们的估计值不好，并且远离实际面积。

中点误差公式为：

∣埃米∣<钾（b–A）3/二四n2∣F' '（X）∣<钾 |E_M| < K (b – a)^3 / 24 n^2 |f’’ (x) | < K ∣EM∣<K(b–a)3/24n2∣f’’(x)∣<K

其中 E_m 是中点规则的实际误差，n 是用于查找区间 [a, b] 上的面积的子区间数。f'' (x) 是给定函数的二阶导数。

中点规则计算器如何工作？

在线中点规则近似计算器可帮助您按照以下步骤使用中点规则找到子区间的大小：

输入：

输出：

常问问题：

梯形或中点更准确吗？

中点法比梯形法更精确。这是复合误差界限所推荐的，但它们不排除在某些情况下梯形法可能更准确的可能性。

梯形法则为什么不准确？

当基础函数是平滑函数时，梯形法则不如辛普森法则准确，因为辛普森法则采用的是二次近似而不是线性近似。该公式通常针对奇数个点给出。

如何确定黎曼和的中点？

黎曼和的中点是我们计算函数的点。为此，我们在每个区间的中点处对其进行积分，并使用这些值来找到不同矩形的高度。

如何计算错误界限？

要计算误差界限，首先要找到区间上界的差值。如果你不知道样本均值，那么你可以通过计算下界和上界的一半差值来确定误差界限。

结论：

使用此在线中点规则计算器，使用中点公式计算给定函数在区间 (a, b) 上的积分表。此规则使用每个区间的中点作为其评估给定函数的黎曼和的点。